Ψαρόσουπα αυγολέμονο

• 1½ κιλό μεσαία βραστόψαρα, καθαρισμένα καλά από λέπια και εντόσθια
• 2 μέτρια ξερά κρεμμύδια, κομμένα σε τέταρτα
• 5 - 6 κλωνάρια σέλινο, με τα φύλλα τους (ή μία μικρή σελινόριζα, κατά προτίμηση βιολογική, καθαρισμένη και κομμένη σε μέτρια κομμάτια)
• 3 μέτρια καρότα, σε μέτρια κομμάτια
• 1 μεγάλη πατάτα, σε χοντρές φέτες
• 100 ml ελαιόλαδο
• 2/3 φλιτζ. τσαγιού ρύζι Καρολίνα ή νυχάκι, ξεπλυμένο καλά σε ένα ψιλό σουρωτήρι
• αλάτι, φρεσκοτριμμένο πιπέρι

Για το αυγολέμονο

• 2 - 3 αυγά
• χυμός από 3 λεμόνια (ή λιγότερος, ανάλογα με τα γούστα μας)